Una cola es una línea
de espera y la podemos ver muy frecuentemente en nuestra vida cotidiana, por
ejemplo: en los bancos, restaurantes de comida rápida, lava autos, en la
cafetería de la universidad e incluso se podría visualizar en un call center de
una empresa, específicamente cuando hay muchas llamadas tienen que esperar a
que se desocupen.
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| Diagrama de Sistema de Colas |
Las líneas de espera se presentan cuando los clientes van a un lugar para buscar un servicio este servicio es dado por un servidor. Cabe destacar que los servidores tienen cierta capacidad de atención en un periodo de tiempo, entonces cuando el servidor está ocupado, los clientes deciden esperar y así es como se forman las líneas de espera.
Los modelos que
permiten simular las líneas de colas sirven para determinar los costos del
sistema y los tiempos de esperas, estos con el objetivo de hacer más eficiente
el sistema y por ende tener a los clientes satisfechos.
Los sistemas se
pueden modelar de forma sencilla o básica, o interconectadas, lo cual formaría
una red de colas, como se muestran a continuación.
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| Diagrama de sistema de cola sencillo |
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| diagrama de sistema de colas múltiple en paralelo |
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| diagrama de sistema de colas múltiple en serie |
Lo más complicado es
conocer la capacidad o la tasa de servicio que da el balance correcto o más
eficiente para el sistema. No es fácil debido a que los clientes no llegan en
un horario fijo y el tiempo en que demora el servidor ofreciendo el servicio
tampoco es fijo, debido a que no todos los clientes necesitan el mismo
servicio.
Existen dos formas
básicas de determinar el tiempo entre llegadas, estos son: el determinístico y
el probabilístico.
En el determinístico,
los clientes llegan sucesivamente en un periodo de tiempo conocido, por
ejemplo, las máquinas industriales cuando por ejemplo se espera la llegada de
las latas para sellarlas.
En el probabilístico,
los clientes llegan en un periodo de tiempo desconocido y variable. Los tiempos
probabilísticos se describen mediante una distribución de probabilidad.
Los elementos que conforman la teoría de colas son los siguientes:
Población: puede clasificarse en finita o infinita.
Proceso de llegada de
los clientes: Es el ingreso al sistema y se mide en términos
del número promedio de llegadas por alguna unidad de tiempo o también por el
tiempo promedio entre llegadas sucesivas.
Línea de espera o cola: está definida por la forma de llegada de los clientes.
Capacidad de cola: número máximo de clientes que pueden estar haciendo cola.
Proceso de servicio: se caracteriza la distribución de tiempo que dura el
servicio.
Reglas del servicio: están son: primero en entrar primero en salir (FIFO por sus
siglas en inglés), último en entrar primero en salir (LIFO por sus siglas en
inglés), sistema en orden aleatorio (SIRO por sus siglas en inglés) y PRI, que
se maneja por prioridades.
Número de estaciones de servicio: son los canales de atención al
cliente y las fases del servicio.
Costos de un sistema de
colas
Costo de espera: es el costo para el cliente al esperar,
representa la oportunidad de tiempo perdido. Un sistema con un bajo costo de
espera es una fuente importante de competitividad.
Costo de servicio: Es el costo de operación del servicio brindado. Es más
fácil de estimar. El objetivo de un sistema de colas es encontrar
el sistema del costo total mínimo.
Las llegadas
El tiempo que transcurre entre dos
llegadas sucesivas en el sistema de colas se llama tiempo entre llegadas. Este tiende a ser muy variable.
El número esperado de llegadas por
unidad de tiempo se llama tasa media de llegadas (l).
El tiempo esperado entre llegadas es 1/l. Por ejemplo, si la tasa media de
llegadas es l = 10 clientes por hora, entonces
el tiempo esperado entre llegadas es 1/l = 1/10 = 0.10 horas.
Además es necesario que estimen la
distribución de probabilidad de los tiempos entre llegadas. Como ya
mencionamos, generalmente se supone una distribución exponencial. Esto depende
del comportamiento de las llegadas.
La forma algebraica de la
distribución exponencial es:
.bmp)
Donde t representa una
cantidad expresada en de tiempo unidades de tiempo.
La distribución exponencial supone una
mayor probabilidad para tiempos entre llegadas pequeños. En general, se
considera que las llegadas son aleatorias y la última llegada no influye en la
probabilidad de llegada de la siguiente.
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| Gráfica de la Distribución Exponencial |
Otra distribución que se utiliza es la
Distribución de Poisson que para tasas medias de llegadas pequeñas es
asimétrica y se hace más simétrica y se aproxima a la binomial para tasas de
llegadas altas.
Su forma algebraica es:
Donde P(k) : probabilidad
de k llegadas por unidad de tiempo. l : Tasa media de llegadas.
La cola
El número de clientes en la cola es el número de clientes que esperan el
servicio. Sin embargo, el número de clientes en el sistema es el número de
clientes que esperan en la cola más el número de clientes que actualmente
reciben el servicio.
La capacidad de la cola es el número
máximo de clientes que pueden estar en la cola, generalmente se supone que la
cola es infinita aunque también la cola puede ser finita, dependiendo de cómo
sea el sistema.
La disciplina de la cola se refiere al
orden en que se seleccionan los miembros de la cola para comenzar el servicio,
como ya mencionamos son: FIFO, LIFO, SIRO y PRI, también se pueden usar varias
de ellas en un mismo sistema.
El servicio
El servicio puede ser brindado por un servidor o por servidores
múltiples. El tiempo de servicio varía de cliente a cliente y el tiempo
esperado de servicio depende de la tasa media de servicio (m). Es necesario que seleccionen una distribución de probabilidad
para los tiempos de servicio, hay dos distribuciones que representarían puntos extremos: La distribución
exponencial (s=media) y Tiempos
de servicio constantes (s=0).
Una distribución
intermedia es la distribución Erlang. Esta distribución posee un parámetro de
forma k que determina su desviación estándar:
La forma de la distribución Erlang varía
de acuerdo con k.
Si k = 1, entonces la
distribución Erlang es igual a la exponencial.
Si k = ∞, entonces la
distribución Erlang es igual a la distribución degenerada con tiempos
constantes.
Notación
l = Número promedio de
llegadas por unidad de tiempo (tasa de llegadas).
μ = Número
promedio de clientes atendidos por unidad de tiempo en un canal (tasa de
servicio).
W o Ws = Tiempo promedio en el
sistema.
Wq = Tiempo promedio de espera
(en cola).
L o Ls = Número promedio de
clientes en el sistema.
Lq = Número promedio de clientes
en la cola.
Pw = Probabilidad de que un
cliente que llega tenga que esperar (ningún cajero vacío).
Pn = Probabilidad de que existan
“n” clientes en el sistema.
n = 0, 1, 2, 3.......
Po = Probabilidad de que no hayan
clientes en el sistema.
Pd= Probabilidad de negación de
servicio, o probabilidad de que un cliente que llega no pueda entrar al sistema debido que la “cola
está llena”.
Notación
de Kendall
A | B | C | D | E | F, donde:
A es el modelo de llegadas,
Valores posibles:
M=tiempos entre
llegadas con distribución de Poisson.
D=tiempos entre
llegadas deterministas.
G=tiempos entre
llegadas generales (cualquier distribución)
Ek: Llegada con distribución de Erlang o Gamma con parámetro K.
B es el modelo de servicio, Puede
tomar los mismos valores que A
C es el número de dependientes (servidores).
D es la disciplina, Se puede omitir si es FIFO.
E es la
capacidad del sistema (número máximo de clientes en el sistema), Se puede
omitir si es infinita.
F V es el número que representa el tamaño de la
población.
En el siguiente vídeo pueden ver un ejemplo de un problema de teoría de colas:
